单纯以时态来看，"should" 是 "shall" 的过去式，不过除了时态的差异外，这两个助动词分别还有各自的意涵及使用方法。以下将提供范例来说明两者的差异。
1. "Shall" 用来表达规定及命令
The door shall be kept closed at all times.（此门应随时保持关闭。）
They shall not pass.（他们不得通过。）
You shall abide by the law.（你应当遵守法律。）
注意不要把此用法与 "must" 搞混。"Must" 表达的是"必须做的事"，未必是命令或规定。
You must register to be able to use the software.（你必须注册才能使用该软件。）
2. "Shall" 用来表达未来式
We shall see.（我们到时候就知道了。）
I shall see you later. I shan't be late.（我们待会见。我不会迟到。）
这个用法中，"shall" 带有 "will" 的意思，只是语气上较 "will" 正式很多，在日常生活中这样的用法已经比较少见了。使用时，一般来说主语会是第一人称（"I" 或者 "we"）。而当主语为第二或第三人称时，则应使用 "will"。
The new business cards will be ready at the end of the month.（新的名片将在月底准备好。）
3. "Shall" 用来表达必然性（未来必定发生）
He shall be the manager of the department by next year.（明年他就会成为该部门的经理。）
这个用法与未来式不同的是，未来式带有不确定性（不一定会发生）。而 "shall" 表达必然性，代表未来必然发生或者可预见的事实。
4. "Shall" 及 "should" 用来征求对方的意见或者意愿
Shall/should I come to the office?（我需要去一趟办公室吗？）
What shall/should we do with this?（我们该拿这怎么办？）
在这里，"shall" 与 "should" 带有类似的意思，但同样地，使用 "shall" 的语气会比 "should" 来得正式。使用时，一般来说主语会是第一人称（"I" 或者 "we"）。
5. "Should" 用来给予建议、表达义务（应该……）
In my opinion, we should book another hotel.（我觉得我们应该预订另一家饭店。）
You should tell him what you think.（你应该告诉他你的想法。）
6. "Should" 用来表达推测
There should be a very big crowd at the party.（派对上应该会有很多人。）
You should find this guidebook helpful.（你应该会觉得这本指南很有帮助。）
当然，我们也可以使用 "may" 及 "might" 来表示推测；差别在于 "should" 表达的确信程度较 "may" 及 "might" 高。
7. "Should" 用来表达可能性（未来可能发生）
Should you ever need anything, please don't hesitate to contact me.（如果您有任何需求，请随时与我联络。）
If anyone should ask for me, I'll be in the manager's office.（如果有人要找我的话，我会在经理办公室。）
这里的 "should" 类似于中文"万一"及"如果"的意思。
References:
Cambridge Dictionary
Dictionary by Merriam-Webster
